Capítulo 18-A
Módulo de puentes y no linealidades civiles (Parte I)
18-A.1 Introducción
Una circunstancia frecuente en ingeniería y particularmente en ingeniería civil es que la sección transversal de una pieza sufra variaciones debidas a causas tan variables como las siguientes:
- Cambio de la geometría en la fase de construcción. Puede ser el caso de vigas de gran sección y vigas mixtas para tableros de puentes.
- Cambio en las propiedades del material, por fraguado, endurecimiento, envejecimiento o fenómenos reológicos (retracción y fluencia).
- Pérdida de propiedades resistentes debido a plastificación o fisuración parcial.
Con objeto de dar respuesta a estos problemas, CivilFEM incluye el módulo de Puentes y No Linealidades Civiles.
CivilFEM controla, durante todo el proceso, el tiempo actual de cálculo (ver comando ~ACTTIME) y el tiempo de activación de cada material (ver comando ~CFMP), obteniendo así la edad de cada material. La forma en que CivilFEM trabaja para realizar el cálculo, así como los tipos de elementos soportados se explica a continuación.
El módulo de puentes y no linealidades civiles incluye, una utilidad que permite el cálculo evolutivo de secciones transversales. El objetivo de esta utilidad es aprovechar la capacidad que tienen las secciones transversales definidas en CivilFEM de contener materiales evolutivos, con posibilidad de nacimiento y variación de sus propiedades en el tiempo. En este caso, se supone un comportamiento elástico y lineal de cada uno de los materiales que componen la sección transversal.
18-A.2 Tipos de elementos para el cálculo no lineal
Los tipos de elementos soportados por CivilFEM para los modelos de fluencia del hormigón son los siguientes:
- Método paso a paso:
|
Vigas |
LINK180, BEAM188, BEAM189 |
|
Placas |
SHELL181, SHELL281 |
|
Sólidos 2D |
PLANE182, PLANE183 |
|
Sólidos 3D |
SOLID185, SOLID186, SOLID187 |
- Método del módulo efectivo:
Todos los elementos estructurales de ANSYS
Los tipos de elementos soportados por CivilFEM para los modelos de retracción del hormigón son todos los elementos estructurales de ANSYS excepto:
- Todos los elementos PIPE
- SHELL91, SHELL181, SHELL281, SOLID191
- En los elementos SHELL99 y SOLID46 sólo se aplica si KEYOPT(2) = 0 ó 1.
Los tipos de elementos soportados por CivilFEM para el cálculo no-lineal de vigas son los siguientes.
|
Barra 2D |
LINK1 |
|
Barra 3D |
LINK8, LINK10 |
|
Viga Sección Variable 3D |
BEAM44 |
|
Viga Sección Variable 2D |
BEAM54 |
Los demás elementos no son tenidos en cuenta por el módulo de cálculo no lineal, introduciéndose en el cálculo en la forma convencional seguida por ANSYS.
18-A.3 Cálculo evolutivo en vigas CivilFEM
18-A.3.1 Introducción y objetivo
El objetivo de esta utilidad es aprovechar la capacidad que tienen las secciones transversales definidas en CivilFEM de contener materiales evolutivos, con posibilidad de nacimiento y variación de sus propiedades en el tiempo.
Este problema se puede resolver con relativa facilidad empleando la capacidad de nacimiento y muerte de elementos de ANSYS, pero obliga a utilizar un tipo de elemento diferente por cada material incluido en la sección, con la correspondiente definición de cada una de las secciones transversales, ‘offsets’, etc.
18-A.3.2 Consideraciones generales
Para utilización de esta capacidad la utilidad de cálculo de vigas no lineales de CivilFEM debe estar desactivada (se supone un comportamiento elástico y lineal de cada uno de los materiales que componen la sección transversal).
El objetivo es válido sólo si se suponen pequeñas deformaciones, es decir, si las deformaciones son despreciables frente a la longitud inicial del elemento.
Las secciones transversales en CivilFEM no pueden estar formadas por más de 100 materiales distintos en cada una.
Las secciones deben tener la propiedad ASEC=8. El cálculo evolutivo necesita que las propiedades de la sección sean las homogenizadas según los módulos de elasticidad de los materiales que la componen.
18-A.3.3 Planteamiento
El principal problema surge del nacimiento de materiales en la sección cuando el elemento está deformado, materiales que al nacer lo hacen con deformación nula y que, por tanto, varían el campo de movimientos de la pieza respecto a las cargas aplicadas.
Un ejemplo claro de este fenómeno es el de una viga sometida a axiles, compuesta de dos materiales, y en el que uno de ellos nace después de haber entrado en carga el primero.
Llamando Lo a la longitud inicial del elemento en el que sólo ha nacido el primero de las materiales:
 |
Si a este elemento se le somete a un esfuerzo axil, aparece una deformación elástica:
 |
Si en este momento nace el segundo material, el esfuerzo axil sigue soportado por el primer material, por lo que se deben mantener las tensiones y deformaciones sobre éste, así como el movimiento total del elemento. Por otro lado, las tensiones y deformaciones del segundo material deben ser nulas.
 |
Al cambiar los esfuerzos aplicados en la viga, los desplazamientos del elemento, así como las tensiones y deformaciones en los distintos materiales, ya no coincidirá con el correspondiente a la consideración de la rigidez aportada por ambos materiales. Considerando el caso particular de que cesaran los esfuerzos exteriores sobre la viga:
 |
Queda una alargamiento remanente sobre el elemento sin cargas, así como un sistema de tensiones auto-equilibradas sobre cada uno de los materiales que componen la sección transversal:
 |
La resolución del problema con vigas CivilFEM pasa por considerar la aplicación de deformaciones impuestas que no modifiquen el campo de tensiones, así como la corrección de las deformaciones y tensiones en cada uno de los materiales.
18-A.3.4 Deformaciones impuestas
En el apartado anterior se ha visto la necesidad de imponer sobre cada elemento del modelo unas deformaciones impuestas que reproduzcan el campo de movimientos real de la estructura en función del nacimiento de los materiales que componen las distintas secciones transversales.
Estas deformaciones impuestas se aplican como incrementos de temperatura en cada uno de los elementos.
18-A.3.1.1 Elementos tipo Link
En el caso de elementos tipo Link, suponiendo una sección en una situación genérica en la que han ido naciendo en distintos tiempos los materiales 1 a n:
 |
En la que se suponen que las áreas indicadas corresponden a las áreas homogeneizadas al módulo de elasticidad utilizado en el cálculo.
El incremento de temperatura a aplicar es:
donde:
a Coeficiente de dilatación térmica del material al que se homogeniza la sección
As Área homogeneizada de la sección actual (de lo materiales ya nacidos)
Ai Área homogeneizada del material i
enac,i Deformación del elemento al nacer el material i.
18-A.3.1.2 Elementos tipo Viga 2D
En los elementos que además de esfuerzos axiles pueden soportar esfuerzos de flexión según un eje, las deformaciones de un determinado material serán función de la deformación e de un determinado punto y la curvatura c.
 |
Los incrementos de temperatura a aplicar en la fibra superior e inferior se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:
donde:
DTsup Incremento de temperatura en la fibra superior
DTinf Incremento de temperatura en la fibra inferior
hsup Distancia del CDG a la fibra superior (de los materiales ya nacidos)
hinf Distancia del CDG a la fibra inferior (de los materiales ya nacidos)
hs Canto de la sección (de los materiales ya nacidos)
a Coeficiente de dilatación térmica del material al que se homogeniza la sección
As Área homogeneizada de la sección (de los materiales ya nacidos)
Is Inercia homogeneizada de la sección (de los materiales ya nacidos)
Ai Área homogeneizada del material i
Ii Inercia del material i.
di Distancia del centro de gravedad de la sección actual a centro de gravedad del material considerado
enac,i Deformación real del material i medidas a partir de su nacimiento en el centro de gravedad del material
cnac,i Curvatura real del material i medidas a partir de su nacimiento
18-A.3.1.3 Elementos tipo Viga 3D
En este caso (los elementos, además de esfuerzos axiles, pueden soportar esfuerzos de flexión según dos direcciones), las deformaciones de un determinado material serán función de la deformación e de un determinado punto y las curvaturas cy y cz.
En elementos viga 3D, ANSYS permite la introducción, en cada extremo del elemento, de cuatro temperaturas (en lo que sigue, al hablar de temperaturas, se entenderá que nos estamos refiriendo a incrementos de temperatura):
 |
En este caso, se calcula la deformación
axial tomando la media de las cuatro temperaturas, y la curvatura mediante la
media de las temperaturas en las fibras superior e inferior en cada dirección.
Expresando las deformaciones en función de las temperaturas de las esquinas:
Los incrementos de temperatura a aplicar en este caso se obtienen resolviendo el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas dando un valor nulo al incremento de temperatura T4.
18-A.3.5 Cálculo de las tensiones y deformaciones reales
En el apartado anterior se han calculado los incrementos de temperatura a imponer para reproducir el campo de movimientos real de la estructura. Las deformaciones reales se calculan teniendo en cuenta las deformaciones de nacimiento de cada uno de los materiales:
donde:
ei Deformación real del material i medida a partir de su nacimiento en el centro de gravedad del material
es,i Deformación del centro de gravedad del material i (elástica más térmica)
enac,i Deformación de nacimiento del centro de gravedad del material i
cy,i Curvatura real según Y del material i medida a partir de su nacimiento
cy,s Curvatura según Y de la sección sys
cy,nac,i Curvatura de nacimiento según Y del material i
cy,i Curvatura real según Z del material i medida a partir de su nacimiento
cz,s Curvatura según Z de la sección
cz,nac,i Curvatura de nacimiento según Z del material i
La deformación en una fibra cualquiera del material i es:
YG,i Coordenada Y del centro de gravedad del material i
ZG,i Coordenada Z del centro de gravedad del material i
Las tensiones elásticas se obtienen multiplicando la deformación por el módulo de elasticidad real del material correspondiente:
18-A.3.6 Consideraciones sobre las temperaturas introducidas por el usuario
Los incrementos de temperatura introducidos por CivilFEM son transparentes al usuario. Estos se añaden de forma automática a los introducidos por éste, y después de la solución se restan.
Las deformaciones térmicas totales se pueden descomponer en:
donde:
Deformaciones
térmicas totales
Deformaciones debidas a los
incrementos de temperatura introducidos por el usuario
Deformaciones térmicas introducidas
por CivilFEM para tener en cuenta el proceso de cálculo evolutivo.
Las deformaciones térmicas en cada fibra debidas a incrementos de temperatura
introducidos por el usuario son:
being:
siendo:
donde:
deformación
térmica en el centro de gravedad
deformación
térmica directa
deformación
térmica en la fibra Z superior
deformación
térmica en la fibra Z inferior
deformación
térmica en la fibra Y superior
deformación
térmica en la fibra Y inferior
hz canto de la sección según Z
hy canto de la sección según Y
zG coordenada del centro de gravedad según Z
yG coordenada del centro de gravedad según Y
Por otro lado, las deformaciones térmicas introducidas por CivilFEM:
Donde la deformación del centro de gravedad y las curvaturas son:
18-A.3.7 Cálculos no lineales
En todos los apartados anteriores, se ha supuesto un comportamiento elástico y lineal de cada uno de los materiales que conforman la sección transversal. La realización de cálculos que tengan en cuenta la no-linealidad del comportamiento del material puede producir resultados erróneos.
18-A.3.8 Materiales con módulos de elasticidad variable en el tiempo
CivilFEM contempla la posibilidad de que el módulo de plasticidad varíe con el tiempo. De forma análoga a cuando nacían materiales en la sección transversal, un incremento en el módulo de elasticidad de los materiales que constituyen la sección obligan de nuevo a la introducción de incrementos de temperatura que reproduzcan el campo de movimientos y la corrección de las tensiones en cada material.
Para simular el proceso hay que tener en cuenta el historial de cambios del módulo de elasticidad que han tenido los materiales. Esto se realiza actualizando en cada estado de carga la deformación de nacimiento del material.
Esta actualización de las deformaciones de nacimiento de un determinado material que aumenta su módulo de elasticidad de Ei,1 a Ei,2 se realiza mediante la siguiente formulación:
donde:
|
enaci,1 |
Deformación de nacimiento del centro de gravedad del material i en el instante 1 |
|
enaci,2 |
Deformación de nacimiento del centro de gravedad del material i en el instante 2 |
|
cnaci,1 |
Curvatura real del material i medida a partir de su nacimiento en el instante 1 |
|
cnaci,2 |
Curvatura real del material i medida a partir de su nacimiento en el instante 2 |
|
e |
Deformación del centro de gravedad de la sección de la estructura en el momento de cambio del módulo de elasticidad |
|
c |
Curvatura de la sección en el momento de cambio del módulo de elasticidad |
|
Ei,1 |
Módulo de elasticidad del material i en el instante 1 |
|
Ei,2 |
Módulo de elasticidad del material i en el instante 2 |
18-A.3.9 Eliminación de material o reducción del módulo de elasticidad
En el desarrollo anterior se ha supuesto siempre que aparecían nuevos materiales o que se han incrementado los módulos de elasticidad. Esto suponía la aparición en un determinado instante de un material que nacía sin deformación y por tanto sin tensión.
En los casos en que se produzcan desaparición de materiales o decrementos del módulo de elasticidad, para que los resultados sean correctos se tienen que producir en materiales sin tensión.
18-A.3.10 Archivo temporal
Durante la ejecución de un cálculo evolutivo, CivilFEM crea dos archivos temporales, con extensiones EVL y EVLI que son eliminados automáticamente al salir del procesador /SOLU.
18-A.3.11 Salida de resultados
Los resultados de tensiones y deformaciones deberán postprocesarse empleando las utilidades de CivilFEM (ver comandos ~PLCSSTR y ~PLLSSTR). Los resultados de un cálculo evolutivo pueden ser combinados con el módulo de combinaciones de CivilFEM.
18-A.4 Retracción y Fluencia
18-A.4.1 Introducción
La retracción y la fluencia del hormigón son efectos diferidos dependientes del tiempo, y pueden provocar deformaciones y desplazamientos que modifiquen la distribución de esfuerzos, las tensiones, las reacciones, o la fuerza de pretensado a las que está sometida la estructura.
La retracción es una deformación en el tiempo sin carga exterior, mientras la fluencia es una deformación en el tiempo de un hormigón cargado. Aunque ambos conceptos son dos aspectos de un mismo fenómeno físico, basado en el comportamiento reológico del hormigón, generalmente se toman como independientes y se estudian por separado.
La deformación en el tiempo de una pieza de hormigón sometida a una tensión constante (ignorando la posible deformación por temperatura) viene dada por:
donde:
|
|
deformación elástica instantánea |
|
|
deformación por fluencia a la edad t |
|
|
deformación por retracción a la edad t |
Las deformaciones elástica y de fluencia dependen de la tensión y se suelen estudiar conjuntamente y por separado de la deformación por retracción.
Una de las hipótesis que se establecen en el estudio de la fluencia es la linealidad, es decir, que la deformación de fluencia es proporcional a la tensión:
donde:
|
|
deformación de fluencia en el tiempo t bajo una tensión constante aplicada en t |
|
|
tensión constante aplicada en el tiempo t |
|
|
módulo de elasticidad a los 28 días |
|
|
coeficiente de fluencia |
Por tanto, la deformación dependiente de la tensión será:
|
|
módulo de elasticidad a la edad de puesta en carga t |
|
|
función de fluencia |
La validez de la hipótesis de linealidad se confirma experimentalmente para tensiones iniciales que no superen el 40% de la resistencia media del hormigón.
Otra hipótesis comúnmente aceptada es el principio de superposición, según el cual, la deformación producida en el hormigón en cualquier instante t, por cualquier incremento de tensión aplicado en el tiempo t, es independiente de cualquier incremento de tensión que se produzca antes o después de t.
Es decir, llamando 
a
la deformación producida por una carga aplicada en t1 y 
a la
producida en un instante t2
tal que t2 > t1, como resultado de las dos
cargas aplicadas, se verifica la relación:
Las deformaciones de fluencia son, por tanto, sumables, por lo que la deformación total del hormigón para una historia de cargas variables será:
|
|
deformación total en el instante t |
|
|
deformación de retracción |
|
|
función de fluencia |
|
|
variación de la tensión en el instante t |
18-A.4.1.1 Método de análisis de la retracción
La retracción en CivilFEM se computa a partir de las curvas de deformación de retracción definidas en los materiales de tipo hormigón factibles de sufrir este fenómeno. Estas curvas se calculan a partir de uno de los códigos disponibles en el programa o bien punto a punto.
Las deformaciones de retracción se computarán en todos los materiales en los que se haya activado esta opción. Estas deformaciones se introducen en el modelo mediante incrementos de temperaturas y se calculan a partir de la deformación y del coeficiente de dilatación térmica del material.
Las deformaciones de retracción se corresponden con deformaciones térmicas, por tanto, no se deben aplicar incrementos de temperatura en los elementos que tengan activada la retracción en el material asociado.
Para una correcta evaluación de las propiedades dependientes del tiempo, el tiempo de ANSYS definido con el comando TIME, deben coincidir con el tiempo activo de CivilFEM definido mediante el comando ~ACTTIME.
18-A.4.1.2 Métodos de análisis de la fluencia
En la versión actual del programa están implementados los siguientes métodos:
a) Método paso a paso
b) Método aproximado del módulo de elasticidad efectivo
La activación de uno u otro método se realiza sobre los materiales de tipo hormigón definidos en el módulo. No existe inconveniente en que en un mismo modelo puedan coexistir hormigones con distintos métodos de evaluación de la fluencia o con hormigones que no presenten este fenómeno.
Para la resolución de la integral planteada en el apartado anterior, es decir, el análisis en el tiempo de la estructura sometida a la fluencia, CivilFEM utiliza el método general paso a paso.
a) Método paso a paso
El método general paso a paso consiste en la división del tiempo en una serie de intervalos, en cada uno de los cuales se imponen las condiciones de equilibrio y compatibilidad de la estructura.
Para ello se divide el tiempo t en una serie de tiempos discretos t0, t1, t2, ..., tk. La deformación queda:
Su resolución con CivilFEM se realiza mediante un cálculo no lineal, discretizando el tiempo mediante la elección de un número de ‘load steps’ y ‘substeps’ adecuado a la evolución de las cargas y la geometría del modelo.
Los incrementos de deformación debidos a la fluencia en se computan, por tanto, a partir de los coeficientes de fluencia definidos en el material y de los incrementos de tensiones producidos durante la discretización en el tiempo:
Estas deformaciones de fluencia se introducen en el modelo a partir de la deformación de ‘Creep’ de ANSYS (para ello se ha programado la rutina UserCreep, que incorpora un algoritmo de integración en el tiempo implícito).
Es posible, también tener en cuenta un posible factor de envejecimiento de manera que las deformaciones de fluencia se computan como:
Siendo t1 el tiempo de aplicación de la primera carga.
Si se introduce un valor nulo para el coeficiente de envejecimiento, el programa toma internamente:
Al igual que en la retracción, para una correcta evaluación de las propiedades dependientes del tiempo, el tiempo de ANSYS definido con el comando TIME, deben coincidir con el tiempo activo de CivilFEM definido mediante el comando ~ACTTIME.
b) Método del módulo efectivo
Este método consiste en el uso de un módulo de elasticidad denominado módulo efectivo que tiene en cuenta la deformación adicional provocada por el fenómeno de la fluencia.
El módulo efectivo se calcula mediante la siguiente expresión:
|
|
Edad del material en el momento del cálculo |
|
|
Edad del hormigón en el momento de aplicar la carga |
|
|
Módulo de elasticidad a 28 días |
|
|
Módulo de elasticidad en el momento de aplicación de la carga |
|
|
Coeficiente de fluencia |
La edad del hormigón en el momento de aplicar la carga se calcula como la diferencia entre el tiempo de aplicación de la carga, TAppLoad (ver comando ~CFMP) y el tiempo de activación del material, TAct (ver comando ~CFMP)
Este método simplificado sólo precisa de la resolución de un único estado de carga para cada tiempo en el que se precise calcular la estructura por lo que es mucho más rápido que el método paso a paso.
Bajo este método la deformación de creep solo depende del estado actual de tensiones por lo que es independiente de la historia de cargas previa. El método proporciona buenos resultados para tensiones en le hormigón sensiblemente constantes en el tiempo.
Al basarse el método en la sustitución del módulo de elasticidad real del material por un módulo efectivo, no es posible determinar la deformación de fluencia separadamente de la elástica, por lo que la deformación elástica final será la suma de la elástica más la de fluencia.
18-A.4.2 Norma Española EHE
18-A.4.1.3 Fluencia
El coeficiente de fluencia puede obtenerse mediante la siguiente formulación:
Siendo j0 el coeficiente básico de fluencia, dado por la expresión:
bc (t-t0) Es una función que describe el desarrollo de la fluencia con el tiempo.
En las expresiones anteriores h0 es el espesor medio expresado en milímetros:
donde Ac es la sección de hormigón y u el perímetro en contacto con la atmósfera.
18-A.4.1.4 Retracción
La deformación de retracción o entumecimiento del hormigón puede evaluarse mediante la siguiente formulación:
esh (t, ts) = esh0 bs(t-ts)
En donde:
|
t |
Edad del hormigón en el instante de evaluación, en días. |
|
ts |
Edad del hormigón al comienzo de la retracción, en días. |
|
esh0 |
Coeficiente básico de retracción. |
esh0 = esbRH
es = (570 – 5 fck) 10-6 , con fck en N/mm2
Para estructuras al aire (RH<100%):
Para estructuras sumergidas:
bRH = 0.25
|
RH |
Humedad relativa en tanto por ciento. |
|
bs(t-ts) |
Coeficiente que define la evolución temporal de la retracción. |
|
h0 |
Espesor medio en milímetros |
|
Ac |
Área de la sección transversal de hormigón. |
|
u |
Perímetro en contacto con la atmósfera. |
18-A.4.3 Código Modelo CEB-90
18-A.4.2 Fluencia
Este código propone unas expresiones para el coeficiente de
fluencia según las cuales éste depende de la humedad RH, del espesor de
la pieza 
, de
la resistencia media del hormigón fcm y de la edad de puesta en
carga t0.
En la expresión anterior, j0 es el coeficiente de fluencia a tiempo infinito y bc una función que describe el desarrollo de la deformación de fluencia en el tiempo tras la puesta en carga.
donde
Siendo:
|
fcm |
resistencia media a compresión del hormigón a la edad de 28 días (MPa). |
|
h0 |
espesor de la pieza (mm)
donde |
|
t |
edad del hormigón (días) en el momento considerado. |
|
t0 |
edad del hormigón en el instante de la carga (días) |
bc queda definida por:
con
18-A.4.2.1 Retracción
También en la retracción la formulación del código modelo es muy similar a la que realiza la norma española EHE.
Según este modelo, la deformación de retracción viene dada por la siguiente expresión:
esh (t,ts) = esh0 bs (t-ts)
esh0 es la deformación de retracción a tiempo infinito y bs una función que describe su desarrollo con el tiempo, t es el tiempo de cálculo y ts el tiempo de curado.
e0 viene dado a su vez, por:
con
bsc es un factor que depende del tipo de hormigón, y su valor es:
- 4 para cementos de endurecimiento lento (SL)
- 5 para cementos normales (N) o de endurecimiento rápido (R)
- 8 para cementos de endurecimiento rápido y alta resistencia (RS).
El coeficiente que define la evolución temporal de la retracción queda definido por:
18-A.4.4 Norma americana ACI 209R-92
18-A.4.2.2 Fluencia
Este código define el coeficiente fluencia (ratio entre la deformación de fluencia frente a la inicial) mediante una expresión monómica (Ecuación A-18) que recoge la influencia de diferentes factores:
Dando para el coeficiente j¥ el valor
j¥ = 2.35
gI son factores correctores que tienen en cuenta el espesor del elemento, la edad de puesta en carga, la composición, etc...
Estos factores se ajustan a las expresiones empíricas que se indican a continuación.
- Influencia de la edad de puesta en carga (t0 en días):
· Hormigón curado con agua:
gt0 = 1.25 t0-0.118 válida para t0 > 7 días.
· Hormigón curado al vapor:
gt0 = 1.13 t0-0.094 válida para t0 > 1 a 3 días.
- Influencia de la humedad relativa (hr en %):
- Influencia del espesor de la pieza (V/s en mm):
- Influencia del cono de Abrahms (s en mm):
gs = 0.82 + 0.00264s
-
Influencia del contenido de arena (af contenido de
finos y 
de gruesos en kg/m3):
- Influencia del contenido del aire (a en%):
ga = 0.46 + 0.09 a
En el cálculo de la deformación de fluencia, se tiene en cuenta el módulo de elasticidad para cada edad.
18-A.4.2.3 Retracción
La expresión que proporciona para la deformación de retracción el código ACI tiene una estructura similar a la vista para la fluencia.
esh¥ = 780 me
Al igual que en el modelo de fluencia, los factores gi recogen la influencia del espesor del elemento, las condiciones medioambientales y la composición del hormigón.
- Influencia de la humedad relativa (rh en %):
- Influencia del espesor de la pieza (V/s en mm):
- Influencia del cono de Abrams (s en mm):
gs = 0.89 + 0.00161s
- Influencia del contenido de arena (af en kg/m3):
- Influencia del contenido de cemento (c en kg/m3):
gc = 0.75 + 0.00061c
- Influencia del contenido del aire (a en%):
a = 0.95 + 0.008 a
18-A.4.3 Eurocódigo 2
18-A.4.3.1 Fluencia
Este código propone la siguiente ecuación para el cálculo del coeficiente de fluencia:
En la expresión anterior, j0 es el coeficiente de fluencia a tiempo infinito y bc una función que describe el desarrollo de la deformación de fluencia en el tiempo tras la puesta en carga.
donde:
es el factor que considera la influencia de la humedad relativa en el coeficiente básico de la fluencia.
es el factor que considera la
influencia de la resistencia del hormigón 
en
el coeficiente básico de la fluencia.
es el factor que considera la edad del hormigón en el momento de la carga en el coeficiente básico de la fluencia.
Siendo:
h0 el espesor ficticio
de la pieza (mm) donde 
es el área de la
sección recta y u el perímetro de la pieza en contacto con la atmósfera.
bc queda definida por:
donde:
es
la duración no ajustada de la carga en días y 
es
un coeficiente que depende de la humedad relativa HR y del espesor ficticio de
la pieza 
:
18-A.4.3.2 Retracción
Según este modelo, la deformación de retracción viene dada por la siguiente expresión:
e0 es el coeficiente básico de retracción a tiempo infinito y bs una función que describe su desarrollo con el tiempo, t es la edad del hormigón en días y ts la edad al comienzo de la retracción.
e0 viene dado a su vez, por:
con
bsc es un factor que depende del tipo de hormigón y vale:
- 4 para cementos de endurecimiento lento (S)
- 5 para cementos normales (N) o de endurecimiento rápido (R)
- 8 para cementos de endurecimiento rápido y alta resistencia (RS).
bs queda definido por:
18-A.5 Vigas No Lineales
ADVERTENCIA: Esta utilidad es una capacidad BETA, por lo que podrán encontrarse dificultades en la convergencia en determinados modelos y para determinadas leyes de los materiales (especialmente en aquellos materiales con grandes diferencias en comportamientos a tracción y compresión).
Para activar las capacidades BETA de CivilFEM es necesario activarlas mediante el comando KEYW,BETACIVI,1
18-A.5.1 Proceso de Cálculo de Vigas No Lineales
El módulo de cálculo de vigas no lineales realiza la sustitución de las constantes reales de cada elemento, en cada iteración de cálculo, por los valores necesarios para crear una sección reducida que con la ley tensión-deformación lineal de ANSYS, produzca los mismos resultados que la sección real con la ley tensión-deformación real.
El cálculo se realiza siguiendo los pasos definidos a continuación:
- Obtención de deformaciones en cada nudo.
- Obtención de las tensiones reales (ley real del material) y las tensiones lineales (ley tensión-deformación lineal con el módulo de elasticidad contemplado por ANSYS).
- Cálculo de los coeficientes de reducción que multiplicarán a los pesos de la sección inicial para obtener los pesos de la sección reducida, y poder así calcular las propiedades geométricas de la sección reducida (denominados Valores Estáticos Equivalentes).
- Cálculo de las propiedades geométricas de la sección reducida, y posterior sustitución de las constantes reales por las reducidas.
18-A.5.2 Deformaciones y Curvaturas
Las deformaciones en cada nudo se calculan a partir de los movimientos de los extremos de la viga teniendo en cuenta la influencia de temperaturas y la existencia de offsets.
18-A.5.2.1 Deformaciones debidas a los movimientos
Independientemente de la forma y composición interna de la sección (homogénea o mixta), el cálculo de la deformación e y de las curvaturas cy y cz se realiza a partir del conocimiento de los movimientos y giros de los extremos de la viga (obtenidos en ANSYS), mediante aplicación de la siguiente formulación:
O de forma abreviada:
{e} = B.{u}
En esta expresión, que utiliza exclusivamente los movimientos en los extremos de la barra y la longitud de ésta, los movimientos se han supuesto referidos a los ejes locales del elemento.
Esta fórmula ha sido deducida para un elemento de sección constante, por lo que para poder tener en cuenta las diferencias geométricas entre los dos extremos de la sección, es necesario ponderar los valores obtenidos de la siguiente manera:
siendo:
e: extremo I o J de la viga.
A partir de la expresión anterior se calcula la deformación en las distintas fibras de la sección. La deformación de la fibra que incide sobre la sección en el punto de coordenadas locales (y, z) viene dada por la expresión:
 |
18-A.5.2.2 Influencia de “offsets”
Los movimientos y giros de los extremos de la viga obtenidos por ANSYS son siempre relativos a los nudos extremos de la barra, es decir no tienen en cuenta la existencia de offsets (desplazamientos de la directriz respecto de los nudos extremos). Sin embargo, para el cálculo de las deformaciones interesa conocer los movimientos y giros del centro de gravedad de la sección.
Por lo tanto, en el supuesto de que la barra considerada presente "offsets", definidos por los vectores
(DxI, DyI, DzI) y (DxJ, DyJ, DzJ)
Llamando
y con la notación de la figura adjunta, en la que se han utilizado unos ejes auxiliares en el nudo I, acumulando todo el offset en el J, tenemos:
Sean {u}P y {r}P los vectores con los movimientos de cada uno de los nudos (obtenidos por ANSYS) y {ue}P y {re}P los vectores con los movimientos en los extremos de la barra (P puede ser el extremo I o J), ambas familias de vectores están relacionadas mediante la siguiente manera
{ue}P = [Ro] {u}P + [To]P [Ro] {r}P
{re}P = [Ro] {r}P
expresiones en las que {r}I = {r}J , y por lo tanto {re}I ={re}J son los movimientos y los giros utilizados por el programa para tener en cuenta la existencia de “offsets” en el cálculo de las deformaciones descrita en el apartado anterior. Sustituyendo {ue}P y {re}P en la expresión {e} = B.{u} se obtiene la deformación total (considerando la existencia de offsets).
Las matrices [Ro], [To]I y [To]J tienen las expresiones
18-A.5.2.3 Efecto de una distribución de temperaturas en la sección
1. Caso bidimensional
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Sean Ts y TI las temperaturas en las fibras extremas de la sección.
La deformación de una fibra situada a una altura y respecto al centro de gravedad se calcula mediante la siguiente fórmula:
Comparando con la distribución esperable de la hipótesis de Navier:
Se obtiene:
2. Caso Tridimensional
Partiendo de la ley de temperaturas en la sección, se obtienen los valores de las deformaciones en distintos puntos de la sección:
siendo:
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Estos valores son las magnitudes llamadas en ANSYS EPTHDIR, EPTHBZT, EPTHBZB, EPTHBYT, EPTHBYB.
Donde: 
=Deformación térmica axial
en el extremo.
ethB,ZT =Deformación térmica en la fibra Z superior.
ethB,ZB =Deformación térmica en la fibra Z inferior.
ethB,YT =Deformación térmica en la fibra Y superior.
ethB,YB =Deformación térmica en la fibra Y inferior.
A partir de estas deformaciones puntuales se pueden obtener las deformaciones totales de la sección:
18-A.5.2.4 Deformaciones de cálculo
El procedimiento descrito en los apartados anteriores para obtener las deformaciones y curvaturas a partir de los movimientos de los nudos (teniendo en cuenta la existencia de “offsets”), proporciona los valores totales de estas (etotal).
Sin embargo, en una estructura isostática, un incremento de temperatura producirá movimientos y deformaciones pero no tensiones. De las deformaciones que sufre la estructura, únicamente la parte que no es debida a los efectos térmicos es susceptible de producir tensiones, por lo que habrá que descontar a las deformaciones obtenidas de los movimientos, la parte que es originada por acciones térmicas (eth). Adicionalmente, en el supuesto de que la barra está sometida a una deformación inicial (eo) ésta también es descontada de la deformación total calculada. Por lo tanto, la fórmula empleada por el programa para el cálculo de las deformaciones y curvaturas es la siguiente.
18-A.5.3 Cálculo de tensiones en fibras
Tras el cálculo de las deformaciones descrito en los apartados anteriores, se obtienen las tensiones reales entrando en la curva de la ley tensión-deformación (e-s) vigente del material para la etapa de cálculo que se esté realizando. Es decir considerando la ley tensión-deformación adecuada para la edad del material en cada etapa de cálculo.
CivilFEM realiza una interpolación entre los puntos definidos en una curva, y entre las curvas disponibles, para obtener la tensión correspondiente a una deformación cualquiera, para una edad cualquiera. Sin embargo si el tiempo activo es anterior a la primera edad definida en el diagrama, CivilFEM supone que el material no está activo todavía y por lo tanto su tensión es nula para cualquier deformación.
En el supuesto de que la deformación obtenida sea mayor que la deformación máxima indicada en el diagrama tensión-deformación del material, se considera la tensión como constante a partir del punto de máxima deformación.
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Además de las tensiones reales se calculan las tensiones lineales a partir de la ley tensión-deformación lineal en la que se considera simplemente el módulo de elasticidad (E) contemplado por ANSYS para el cálculo del modelo.
El cociente entre las tensiones reales y las tensiones lineales nos da el Coeficiente de Reducción (n) en cada punto de la sección.
18-A.5.4 Valores estáticos equivalentes
18-A.5.4.1 Cálculo
Entre iteración e iteración, los valores críticos de la sección pueden ir cambiando, modificándose no solo el área y los momentos de inercia, sino también la posición del centro de gravedad y, por lo tanto, los “offsets”.
Como se ha comentado anteriormente, CivilFEM cambia, al final de cada iteración de cálculo, las constantes reales de ANSYS. Para ello se multiplican los coeficientes de reducción (n) descritos en el apartado anterior por los pesos de la sección inicial para obtener los pesos de la sección reducida y calcular así las propiedades geométricas de la sección reducida. A continuación se describen las fórmulas simplificadas empleadas:
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Donde: Aeq= Área de la sección equivalente (reducida)
Iyeq= Momento de inercia a flexión según Y de la sección equivalente
Izeq= Momento de inercia a flexión según Z de la sección equivalente
Iyzeq= Producto de inercia de la sección equivalente
Los momentos de inercia se calculan relativos a ejes de inercia que pasan por el centro de gravedad.
Adicionalmente se calculan los valores de los "offsets", respecto de la posición del nudo que define la sección (constantes reales DX, DY, DZ de ANSYS).
El centro de gravedad de la sección equivalente se calcula mediante la fórmula clásica:
Como puede observarse, el cálculo se basa en comparar la situación de la sección, en cada iteración, con la sección inicial de cálculo.
18-A.5.5 Masa específica
Al cambiar el área de la sección, automáticamente cambiaría, en la misma proporción, su masa y su peso lo que afectaría a los cálculos dinámicos y a los estados de peso propio o aceleración métrica de los estáticos.
Para corregir este problema el módulo no lineal modifica la constante real ADDMASS en aquellos elementos que tiene esta posibilidad (BEAM44 y BEAM54). Los elementos biarticulados (LINK1, LINK8 y LINK10) que han sido incluidos en este módulo no permiten esta posibilidad, por lo que deberán introducirse siempre sin masa, concentrando ésta en los nudos si fuera necesario.
Si el tiempo activo es anterior a la edad de activación de alguno de los materiales definidos, CivilFEM realizará automáticamente los ajustes necesarios para que el peso aportado a la sección por el material sea nulo.
18-A.5.6 Consideraciones Generales
- Aunque las secciones transversales deben tener al menos un material no lineal definido, el modelo empleado para el análisis debe ser mallado empleando materiales lineales.
- Debido a que el módulo de cálculo no lineal realiza los cambios en las constantes reales en cada iteración de equilibrio, el empleo del control automático SOLCONTROL de ANSYS, podría dar lugar a inestabilidades en el proceso.
- CivilFEM emplea un sistema de eliminación de inestabilidades por redondeo en el cálculo de OFFSETS que hace que estos no se tengan en cuenta mientras no sobrepasen un valor mínimo que se fija en una proporción de la correspondiente dimensión de la sección. Este valor que por defecto se toma igual a 10-9, puede ser controlado a través de la variable TOL de configuración (ver comando ~CFCONFG).
- En ocasiones puede resultar adecuado incrementar el número máximo de iteraciones (NEQIT). Obsérvese que para ello SOLCONTROL debe desactivarse previamente.
- La producción de offsets a consecuencia del empleo de distintos materiales en una misma sección y a la eventual presentación de fenómenos de fisuración durante el proceso, puede originar problemas de convergencia en elementos con relación canto/longitud grande. Por esa razón se aconseja utilizar elementos que cumplan la condición:
Longitud del elemento finito ³ 0.20 ´ Canto de la sección
- Cuando en el elemento se produce pérdida o ganancia de masa durante el proceso, CivilFEM controla el fenómeno mediante la constante real ADDMASS (BEAM44 y BEAM54) pero esta constante aplica a toda la longitud de la viga, por lo que es necesario realizar un promedio entre los valores obtenidos en cada sección extrema. Este hecho debe tenerse en cuenta, a efectos de realizar un mallado suficientemente preciso.
- Puesto que los elementos utilizados en el cálculo no lineal (LINK1, LINK8, LINK10, BEAM44, BEAM54) son elementos creados en ANSYS, se han empleado sus matrices de rigidez sin aplicarles ningún cambio. De esta manera, las ecuaciones de equilibrio que se realizan en el algoritmo de resolución, están planteadas en función de dichas matrices de rigidez. El resultado teórico de los esfuerzos en los extremos de los elementos, se obtendría integrando las tensiones en cada punto de la sección. Sin embargo los esfuerzos que se extraen del cálculo no lineal son los derivados de emplear las matrices de rigidez de los elementos, por lo que pueden variar ligeramente en algunos casos.
18-A.5.1 Tipos de barra con relación al cálculo no lineal
Con respecto al cálculo no lineal de barras, éstas pueden presentar dos comportamientos que se definen mediante la propiedad de miembro KEYNL (ver comando ~MEMBPRO)
Que toma los siguientes valores:
- KEYNL = 0
La barra se comporta como lineal en el cálculo, pero a la hora de estudiar sus EXTREMOS, dicho estudio se realiza considerando el comportamiento no lineal real.
- KEYNL = 1
La barra se comporta no linealmente, tanto en el cálculo como en el estudio de sus EXTREMOS.
18-A.5.2 Tipos de cálculo no lineales
Existen dos posibilidades a la hora de realizar un cálculo no lineal de barras de CivilFEM, que están reguladas por la variable CFNLNTIP (ver comando ~CFCONFG).
- Si CFNLNTIP = 0, las barras no lineales (KEYNL = 1) que corresponden a un mismo grupo de constantes reales (sección) cambian simultáneamente de forma que siempre van a tener las mismas propiedades estáticas.
En este caso, cada vez que se realiza una iteración se cambian las propiedades de la sección afectando por igual a todas las barras que la tengan.
El criterio seguido por CivilFEM es dejar la sección con las propiedades (constantes reales) obtenidas a partir del último elemento modificado.
Esta forma de trabajo, que puede ahorrar mucho tiempo, requiere una discretización adecuada.
- Si CFNLNTIP = 1 (valor por defecto), cada barra no lineal (KEYNL = 1) tendrá su propia característica por lo que CivilFEM deberá generar automáticamente una nueva familia de constantes reales. En este caso el cálculo es mucho más preciso, aunque obviamente más costoso en recursos.
18-A.5.3 Diagrama momento curvatura
18-A.5.3.1 Cálculo no lineal con diagramas momento curvatura
Aparte del cálculo descrito en los apartados anteriores, CivilFEM tiene la opción de realizar un cálculo no lineal simplificado, empleando los diagramas momento-curvatura de las secciones empleadas.
Este tipo de cálculo está limitado a estructuras 2D, y permite ser empleado con los mismos elementos que el cálculo no lineal general (LINK1, LINK8, LINK20, BEAM44 y BEAM54).
El proceso de cálculo es básicamente el mismo que para el cálculo no lineal general, como se verá en los siguientes apartados, aunque la sección es tratada de una manera global y no punto a punto.
Para elegir este tipo de cálculo es necesario cambiar la variable MCKEY = 1 (por defecto MCKEY = 0). Véase el comando ~CFCONFG.
18-A.5.3.2 Obtención del diagrama
Fijado un axil N, se obtiene el diagrama por puntos, representado por cada valor de la curvatura c, la posición de la fibra neutra (variable d) y el momento flector M.
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Planteando el equilibrio:
De la última ecuación se obtiene d:
Y sustituyendo en las fórmulas anteriores se calcula M.
18-A.5.3.3 Utilización de un diagrama preestablecido
Cuando se quiere utilizar un diagrama dado de la sección, el cálculo se realiza de forma aproximada con los siguientes pasos:
- Se parte de una situación dada definida mediante (c, e), curvatura y deformación axial.
- Obtenemos N a partir de e y por interpolación en la curva, el valor de M que proporciona para c y N el diagrama.
- Se obtiene la INERCIA equivalente al par (c, M)
- Se modifican las constantes reales y se vuelve a iterar.
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18-A.5.3.4 Posibilidades de definición del diagrama
Se dispone de dos opciones para la definición del diagrama momento curvatura en CivilFEM:
- Utilizar un diagrama que se introduce por puntos.
- Utilizar el diagrama real de la sección calculado por CivilFEM.